Mathe-SA am 12.06.2025

Funktionen und Graphen

Funktionsgraphen

Name	Funktionsgleichung	Graph
Lineare Funktion	f(x) = k ⋅ x + d
Quadratische Funktion	f(x) = a ⋅ x2 + b ⋅ x + c
Exponentialfunktion	f(x) = ax
Logarithmusfunktion	f(x) = logn(x)
Potenzfunktion Falls n ungerade: "S"-Form Falls n gerade: "W" oder "M"-Form	f(x) = a ⋅ xn
Polynomfunktion Wie bei Potenzfunktion: Falls n gerade: "W" oder "M"-Form Falls n ungerade: "S"-Form	f(x) = a0 ⋅ xn + a1 ⋅ xn-1+ ... + an ⋅ x0

Winkelfunktionen

Sinus- und Cosinusfunktion

Winkelfunktionen sind Sinus-, Cosinus-, und Tangensfunktion. Diese sehen in der Grundfunktion (Amplitude = 1, keine Phasenverschiebung) folgendermaßen aus:

Sinusfunktion	Cosinusfunktion	Tangensfunktion

Wie man sieht, haben die Sinus- und Cosinusfunktion eine Periode von 2π und die Tangensfunktion eine Periode von π. Die Cosinusfunktion können wir auch als eine Phasenverschobene Sinusfunktion schreiben:

sin(x) = cos(x - $\frac{\pi }{2}$) bzw. cos(x) = sin(x + $\frac{\pi }{2}$)

Wie wir sehen, wird die Sinusfunktion bei einer Phasenverschiebung von + $\frac{\pi }{2}$ um $\frac{\pi }{2}$ nach links verschoben, die Cosinusfunktion bei negativer Phasenverschiebung nach rechts. Die Sinusfunktion sieht allgemein so aus: f(x) = a ⋅ sin(b ⋅ x + c). a ist die Amplitude, b die Kreisfrequenz, und c die Phasenverschiebung. b kann auch als ω und c als φ geschrieben werden (hauptsächlich in der Physik). Die Amplitude streckt/staucht die Funktion entlang der y-Achse, die Kreisfrequenz entlang der x-Achse. Die Phasenverschiebung verschiebt die Funktion entlang der x-Achse nach links oder rechts.

Schwingungen

Bei harmonischen Schwingungen (also Schwingungen, die durch eine Sinusfunktion s(t) = a ⋅ sin(b ⋅ t + c), also auch Cosinusfunktion, dargestellt werden können) kommen ein paar Begriffe hinzu:

• Elongation: Wert der Funktion zum Zeitpunt t
• Amplitude (a): Größtmögliche Elongation (höchster Punkt der Funktion)
• Schwingungsdauer (T): Zeit, die für eine vollständige Schwingung benötigt wird; ohne Kreisfrequenz ist sie 2π. T = $\frac{1}{f}$; T = $\frac{\mathrm{2\; \cdot \; \pi }}{\omega }$
• Frequenz: Anzahl an Schwingungen pro Sekunde; Einheit: Hz (Hertz). f = $\frac{1}{T}$; f = $\frac{\omega }{2\; \cdot \; \pi }$